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已知向量
OA
=(λsinα，λcosα)，
OB
=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求
OA
，
OB
的夾角θ的大小；
（2）求|
AB
|的最小值．
（1）|
OA
|=|λ|，|
OB
|=1
OA
•
OB
=λ(sinαcosβ+cosαsinβ)=λsin4
cosθ=
OA
•
OB
|
OA
||
OB|
=
λsin4
|λ|
．
當λ＞0時，cosθ=sin4=cos（4-
π
2
），
因0≤θ≤π，0≤4-
π
2
≤π，故θ=4-
π
2
；
當λ＜0時，cosθ=-sin4=cos(
3π
2
-4)，
因0≤θ≤π，0≤
3π
2
-4≤π，故θ=
3π
2
-4
（2）|
AB
|2=(
OB
-
OA
)2
=
OB
2-2
OB
•
OA
+
OA
2
=λ2-2λsin（α+β）+1
=λ2-2λsin4+cos24+sin24
=（λ-sin4）2+cos24
≥cos24
所以|
AB
|的最小值為-cos4．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知三點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量
OA
+K
OB
+(2-K)
OC
=
0
（k為常數且0＜k＜2，O為坐標原點，S△BOC表示△BOC的面積）
（1）求cos（β-γ）的最值及相應的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值時，S△BOC：S△AOC：S△AOB．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
OA
=
a
=(cosα，sinα)，
OC
=
c
=(0，2)
OB
=
b
=(2cosβ，2sinβ)，其中O為坐標原點，且0＜α＜
π
2
＜β＜π
（1）若
a
⊥(
b
-
a
)，求β-α的值；
（2）若
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3
，求△OAB的面積S．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
OA
=a=(
2
cosα，
2
sinα)，
OB
=b=（2cosβ，2sinβ），其中O為坐標原點，且
π
6
≤α＜
π
2
＜β≤
5π
6
．
（1）若
a
⊥（
b
-
a
），求β-α的值；
（2）當
a
•（
b
-
a
）取最小值時，求△OAB的面積S．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=a=(
2
cosα，
2
sinα)，
OB
=b=（2cosβ，2sinβ），其中O為坐標原點，且
π
6
≤α＜
π
2
＜β≤
5π
6
．
（1）若
a
⊥（
b
-
a
），求β-α的值；
（2）當
a
•（
b
-
a
）取最小值時，求△OAB的面積S．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=
a
=(cosα，sinα)，
OC
=
c
=(0，2)
OB
=
b
=(2cosβ，2sinβ)，其中O為坐標原點，且0＜α＜
π
2
＜β＜π
（1）若
a
⊥(
b
-
a
)，求β-α的值；
（2）若
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3
，求△OAB的面積S．

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