Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）•e^x的定義域為[-2，t]（t＞-2），設f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調函數；
（2）求證：n＞m；
（3）[理]若t為自然數，則當t取哪些值時，方程f（x）-m=0（m∈R）在[-2，t]上有三個不相等的實數根，并求出相應的實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數的解析式求出f（x）的導函數，令導函數大于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數的增區間；令導函數小于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數的減區間，所以要使函數在[-2，t]上為單調函數，根據求出的單調區間即可得到t的取值范圍；
（2）根據（1）求出的函數的單調區間，由函數的增減性得到函數的極小值，把x=-2代入f（x）解析式求出f（-2）的值，進而發現f（-2）小于極小值，所以得到函數在區間[-2，t]的最小值為f（-2），即t大于-2時，得到f（-2）小于f（t），得證；
（3）由（1）求出的函數的單調區間得到t=0或1時，方程f（x）-m=0不可能有三個不相等的實數根，所以得到t大于等于2，要使方程有三個不等的實數根，只需讓m屬于（max（f（-2），f（1）），min（f（0），f（t）））即可，分別求出各自的值，判斷出大小即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）因為f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x，
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0；由f′（x）＜0?0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
欲使f（x）在[-2，t]上為單調函數，則-2＜t≤0．
（2）因為f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e．
又f（-2）=

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e2

＜e，所以f（x）僅在x=-2處取得[-2，t]上的最小值f（-2），
從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），即m＜n．
（3）由（1）知f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
故當t=0或t=1時，方程f（x）-m=0在[-2，t]上不可能有三個不等實根，
所以t≥2，且t∈N．
當t≥2，且t∈N時，方程f（x）-m=0在[-2，t]上有三個不等實根，
只需滿足m∈（max（f（-2），f（1）），min（f（0），f（t）））即可．
因為f（-2）=

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e2

，f（0）=3，f（1）=e，f（2）=e²，且f（t）≥f（2）=e²＞3=f（0），
因而f（-2）＜f（1）＜f（0）＜f（2）≤f（t），
所以f（1）＜m＜f（0），即e＜m＜3，
即實數m的取值范圍是（e，3）．

點評：此題考查學生會利用導數研究函數的單調性，要求學生掌握函數單調性的性質，是一道綜合題．