Question

【題目】已知點A(－2，0)，B(2，0)，過點A作直線l與以A，B為焦點的橢圓交于M，N兩點，線段MN的中點到y軸的距離為，且直線l與圓x2＋y2＝1相切，則該橢圓的標準方程是________，過A點的橢圓的最短弦長為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x＋2)，①

由題意設橢圓方程為＝1(a2＞4)，②

由直線l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，解得k2＝.將①代入②，得(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，設點M的坐標為(x1，y1)，點N的坐標為(x2，y2)，由根與系數的關系，得x1＋x2＝－，又線段MN的中點到y軸的距離為，所以|x1＋x2|＝，即－＝－，解得a2＝8.所以該橢圓的標準方程為.過A點的橢圓最短弦垂直于x軸，其長為2.故填,.