Question

【題目】已知兩個定點，動點滿足.設動點的軌跡為曲線，直線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若與曲線交于不同的兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；

（3）若， 是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設點P坐標為（x，y），運用兩點的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡的方程；（2）由，則點到邊的距離為，由點到線的距離公式得直線的斜率；（3）由題意可知：O，Q，M，N四點共圓且在以OQ為直徑的圓上，設，則圓的圓心為運用直徑式圓的方程，得直線的方程為，結合直線系方程，即可得到所求定點．

（1）設點的坐標為

由可得，，

整理可得

所以曲線的軌跡方程為.

（2）依題意，，且，則點到邊的距離為

即點到直線的距離，解得

所以直線的斜率為.

（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上

是直線上的動點，設

則圓的圓心為，且經過坐標原點

即圓的方程為 ，

又因為在曲線上

由，可得

即直線的方程為

由且可得，解得

所以直線是過定點.