Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0），其焦點為F（1，0），過F作斜率為k的直線交拋物線C于A、B兩點，交其準線于P點．

（1）求P的值；
（2）設|PA|+|PB|=λ|PA||PB||PF|，若k∈[ ，1]，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為焦點F（1，0），所以 ，解得p=2．
（2）解：由題可知：直線AB的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），準線的方程為x=﹣1

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ．由 消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

故 ．

由|PA|+|PB|=λ|PA||PB||PF|得

解得 ．

因為k∈[ ，1]，所以λ∈[ ， ]．

【解析】（1）運用拋物線的焦點坐標，計算即可得到所求方程；（2）由題可知：直線AB的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），準線l的方程為x=﹣1，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯立拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理，運用不等式的性質，即可得到所求范圍．