Question

【題目】（江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數學試題）已知函數f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．

（1）若a＝1，求函數f(x)的極值；

（2）若函數f(x)有兩個零點，求a的范圍；

（3）對于曲線y＝f(x)上的兩個不同的點P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，若y＝f(x)的導函數為f ′(x)，證明：f ′()＜k．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】分析：（1）求極值可先求導分析函數的單調區間從而確定極值點求極值；（2）由（1）可知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調增，不可能有兩個零點；故只需討論當a＞0時的零點情況，當a＞0時，函數有極大值， 令（x＞0），求導分析單調性結合零點定理進行證明即可；（3）由斜率計算公式得 ，而 ，將看成一個整體構造函數（），分析其最大值即可.

解：（1），，

當時，，在上單調遞增，無極值；

當時， ，在上單調遞增；

，在上單調遞減，

函數有極大值，無極小值．

（2）由（span>1）可知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調增，不可能有兩個零點；

當a＞0時，函數有極大值，

令（x＞0）， ，

，，在(0，1)上單調遞減；

，，在(1，＋∞)上單調遞增，

函數有最小值．

要使若函數有兩個零點時，必須滿足，

下面證明時，函數有兩個零點．

因為，

所以下面證明還有另一個零點．

①當時，，

，

令()，，

在上單調遞減，，則，

所以在上有零點，又在上單調遞減，

所以在上有惟一零點，從而有兩個零點．

②當時，，

，

易證，可得，

所以在上有零點，又在上單調遞減，

所以在上有惟一零點，從而有兩個零點．

綜上，的范圍是．

（3）證明：，

，

又，，

不妨設0＜x2＜x1， t＝，則t＞1，

則．

令（），

則，

因此h(t)在(1，＋∞)上單調遞減，所以h(t)＜h(1)＝0.

又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，

所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．