Question

【題目】已知a＞0，b＞0，函數f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1．
（1）求證：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求實數t的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣ |+|x﹣ |，

∵|x+a|+|x﹣ |≥|（x+a）﹣（x﹣ ）|=a+ 且|x﹣ |≥0，

∴f（x）≥a+ ，當x= 時取等號，即f（x）的最小值為a+ ，

∴a+ =1，2a+b=2；

法二：∵﹣a＜ ，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|= ，

顯然f（x）在（﹣∞， ]上單調遞減，f（x）在[ ，+∞）上單調遞增，

∴f（x）的最小值為f（ ）=a+ ，

∴a+ =1，2a+b=2

（2）解：方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴ ≥t恒成立，

= + =（ + ）（2a+b ） = （1+4+ + ） ，

當a=b= 時， 取得最小值 ，

∴ ≥t，即實數t的最大值為 ；

方法二：∵a+2b≥tab恒成立，

∴ ≥t恒成立，

t≤ = + 恒成立，

+ = + ≥ = ，

∴ ≥t，即實數t的最大值為 ；

方法三：∵a+2b≥tab恒成立，

∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，

∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，

∴（3+2t）2﹣326≤0，

∴ ≤t≤ ，實數t的最大值為

【解析】（1）法一：根據絕對值的性質求出f（x）的最小值，得到x= 時取等號，證明結論即可；法二：根據f（x）的分段函數的形式，求出f（x）的最小值，證明即可；（2）法一，二：問題轉化為 ≥t恒成立，根據基本不等式的性質求出 的最小值，從而求出t的范圍即可；法三：根據二次函數的性質判斷即可．