Question

（2013•普陀區一模）已知函數f(x)=

x+1，0≤x＜1 2x- 1 2 ，   x≥1

，設a＞b≥0，若f（a）=f（b），則b•f（a）的取值范圍是

[

3

4

，2)

．

Answer 1

分析：首先作出分段函數的圖象，因為給出的分段函數在每一個區間段內都是單調的，那么在a＞b≥0時，要使f（a）=f（b），必然有b∈[0，1），a∈[1，+∞），然后通過圖象看出使f（a）=f（b）的b與f（a）的范圍，則b•f（a）的取值范圍可求．

解答：解：由函數f(x)=

x+1，0≤x＜1 2x- 1 2 ，   x≥1

，作出其圖象如圖，
因為函數f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是單調函數，
所以，若滿足a＞b≥0，時f（a）=f（b），
必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），
由圖可知，使f（a）=f（b）的b∈[

1

2

，1），
f（a）∈[

3

2

，2）．
由不等式的可乘積性得：b•f（a）∈[

3

4

，2）．
故答案為[

3

4

，2）．

點評：本題考查函數的零點，考查了函數的值域，運用了數形結合的數學思想方法，數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，此題是中檔題．