Question

如圖，正三棱錐O-ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2．E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，過EF作平面與側棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A₁、B₁、C₁，已知．
（1）求證：B₁C₁⊥平面OAH；
（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）要證B₁C₁⊥平面OAH，直線證明直線垂直平面OAH內的兩條相交直線：AH、OA即可；
（2）作出二面角O-A₁B₁-C₁的平面角，然后求解即可；或者建立空間直角坐標系，利用法向量的數量積求解．
解答：解：（1）證明：依題設，EF是△ABC的中位線，所以EF∥BC，
則EF∥平面OBC，所以EF∥B₁C₁．
又H是EF的中點，所以AH⊥EF，則AH⊥B₁C₁．
因為OA⊥OB，OA⊥OC，
所以OA⊥面OBC，則OA⊥B₁C₁，
因此B₁C₁⊥面OAH．

（2）作ON⊥A₁B₁于N，連C₁N．因為OC₁⊥平面OA₁B₁，
根據三垂線定理知，C₁N⊥A₁B₁，∠ONC₁就是二面角O-A₁B₁-C₁的平面角．
作EM⊥OB₁于M，則EM∥OA，則M是OB的中點，則EM=OM=1．
設OB₁=x，由得，，解得x=3，
在Rt△OA₁B₁中，，則，．
所以，故二面角O-A₁B₁-C₁為．

解法二：（1）以直線OA、OC、OB分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，
O-xyz則
所以
所以
所以BC⊥平面OAH，
由EF∥BC得B₁C₁∥BC，故：B₁C₁⊥平面OAH

（2）由已知，設B₁（0，0，z）
則
由與共線得：存在λ∈R有得
同理：C₁（0，3，0），∴
設是平面A₁B₁C₁的一個法向量，
則令x=2，得y=z=1，∴．
又是平面OA₁B₁的一個法量∴
所以二面角的大小為
（3）由（2）知，，B（0，0，2），平面A₁B₁C₁的一個法向量為．
則．
則點B到平面A₁B₁C₁的距離為．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．