Question

【題目】已知函數其中實數為常數且.

（I）求函數的單調區間；

（II）若函數既有極大值，又有極小值，求實數的取值范圍及所有極值之和；

（III）在（II）的條件下，記分別為函數的極大值點和極小值點，

求證： .

Answer 1

【答案】(1) 見解析（II）,所有極值之和為 （III）見解析

【解析】試題分析：（1）利用導數并結合實數的不同取值求解單調區間；（2）由（1）可知當時函數有極值，此時 ，再根據根與系數的關系求解；（3）將問題轉化為證明當時, 成立的問題，變形得即證，構造函數，利用函數的單調性證明即可。

試題解析：(1) 函數的定義域為，

，

設

其中

①當時, ， ，函數在內單調遞增；

②當時, ，方程有兩個不等實根：

，且

由或

由

綜上所述，

當時, 的單調遞增區間為,無單調遞減區間；

當時， 的單調遞增區間為， ,單調遞減區間

（II）由（I）的解答過程可知，當時,函數沒有極值

當時，函數有極大值與極小值，

且

故實數的取值范圍為,所有極值之和為

（III）由（II）知，當,

, .

故原不等式等價于證明當時, ，

即證.

設函數,則

當時， .

函數在區間單調遞減,

由知,

∴

.即.

從而原不等式得證.