Question

如圖，三角形中，，是邊長為的正方形，平面 ⊥底面，若、分別是、的中點．
（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）．

解析
試題分析：本題主要考查線面垂直、線線垂直、面面垂直、線線平行、線面平行、幾何體的體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉化能力．第一問，作出輔助線，在中，HG為中位線，則，在中，HF為中位線，則，，所以，利用線面平行的判定得平面，平面，再利用面面平行的判定得平面//平面，利用面面平行的性質得//平面；第二問，由，得為直角三角形，，而平面，則由線面垂直的性質得，由線面垂直的判定得平面；第三問，取AB中點，由于為等腰直角三角形，所以，而，所以⊥平面，所以CN是錐體的高，利用錐體的體積公式計算體積即可．
（1）取的中點，連結，
因為分別是和的中點，所以，，    
又因為為正方形，   所以，從而，
所以平面，平面，，
所以平面//平面，所以//平面．          4分
（2）因為為正方形，所以，所以平面，    
又因為平面⊥平面，所以平面，          
所以，又