Question

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知點(diǎn)D滿足，在直線AA₁上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出AA₁向量，平面AA₁C₁C的法向量，然后求出側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求出，設(shè)出P的坐標(biāo)，使DP∥平面AB₁C，即，再求出P的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點(diǎn)O，
∴A₁O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱長都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC．（2分）
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則
A（0，-1，0），B（，0，0），A₁（0，0，），
C（0，1，0），；
∴．（4分）
設(shè)平面AB₁C的法向量為n=（x，y，1）
則
解得n=（-1，0，1）．（6分）
由cos＜＞=．
而側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角，
即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，
∴側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小為．（6分）

（Ⅱ）∵，
而．
∴．（8分）
又∵B（，0，0），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-，0，0）．
假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P（0，y，z）．
∴
∵DP∥平面AB₁C，n=（-1，0，1）為平面AB₁C的法向量，
∴由，得，∴．（11分）
又DP?平面AB₁C，
故存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C，其坐標(biāo)為（0，0，），即恰好為A₁點(diǎn)．（12分）
點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，邏輯思維能力，具有探索性特點(diǎn)，是難度較大題目．