Question

已知兩個動點A，B和一個定點均在拋物線x²=2py上，設F為拋物線的焦點，Q為拋物線對稱軸上一點，若成等差數列，且（A，B與P不重合）．
（1）求證：線段AB的中點在直線上；
（2）求點Q的縱坐標；
（3）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在拋物線x²=2py上，可求p，由成等差數列，可得，利用坐標表示可證
（2）由，即，利用坐標表示及點A，B滿足拋物線的方程聯立可求
（3）設，則可得，從而有，代入x²=2py，整理得x²-2xx+2x²-3=0，結合方程的性質及，可求
解答：解：（1）在拋物線x²=2py上，所以，所以p=1．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因為成等差數列，
所以，所以，所以，
即線段AB的中點在直線上． …（2分）
（2）設AB的中點為M，則，，即，，（x₁+x₂）（x₂-x₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）
=0，x₂²-x₁²+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，…（4分）
又x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，所以2（y₂-y₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，
依題意，y₁≠y₂，所以y₁+y₂-2y_Q+2=0，．…（6分）
（3）設，，所以，
代入x²=2py，得x²-2xx+2x²-3=0…（*）
由△＞0，得12-4x²＞0，即x²＜3，注意到A、B與P不重合，
所以0＜x²＜3，…（8分）
，
結合0＜x²＜3，．即的取值范圍為（0，4]．…（10分）
點評：本題主要考查了；利用拋物線的性質求解拋物線的方程，解決（1）的關鍵是根據拋物線的定義寫出FA，FB，FP，而處理直線與曲線的位置關系的問題時．在聯立方程后，要主要對方程判別式的限制條件的考慮