Question

1．已知函數f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，其反函數為y=g（x）．
（1）若g（mx²+2x+1）的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）當x∈[-1，1]時，求函數y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）函數f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，則其反函數為y=g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$．可得g（mx²+2x+1）=-$lo{g}_{3}（m{x}^{2}+2x+1）$，當m≤0時，舍去．當m＞0時，g（mx²+2x+1）的定義域為R，可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m即可得出．
（2）函數y=[f（x）]²-2af（x）+3=$（\frac{1}{3}）^{2x}$-2a$（\frac{1}{3}）^{x}$+3，x∈[-1，1]時，令$（\frac{1}{3}）^{x}$=t∈$[\frac{1}{3}，3]$，y=（t-a）²+3-a²=u（t），對稱軸t=a．對a與$\frac{1}{3}$，3的大小分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．
（3）存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）=-6x+12的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，可得$\left\{\begin{array}{l}{-6n+12={m}^{2}}\\{-6m+12={n}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可判斷出結論．

解答 解：（1）∵函數f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，則其反函數為y=g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$=-log₃x．
∴g（mx²+2x+1）=-$lo{g}_{3}（m{x}^{2}+2x+1）$，
當m≤0時，g（mx²+2x+1）的定義域不為R，舍去．
當m＞0時，g（mx²+2x+1）的定義域為R，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞1．
∴實數m的取值范圍是（1，+∞）．
（2）函數y=[f（x）]²-2af（x）+3=$（\frac{1}{3}）^{2x}$-2a$（\frac{1}{3}）^{x}$+3，
∵x∈[-1，1]時，令$（\frac{1}{3}）^{x}$=t∈$[\frac{1}{3}，3]$，
∴y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²=u（t），對稱軸t=a．
當a$≤\frac{1}{3}$時，u（t）在t∈$[\frac{1}{3}，3]$上單調遞增，∴t=$\frac{1}{3}$時，u（t）取得最小值u（$\frac{1}{3}$）=$\frac{28-6a}{9}$．
當a≥3時，u（t）在t∈$[\frac{1}{3}，3]$上單調遞減，∴t=3時，u（t）取得最小值u（3）=12-6a．
當$\frac{1}{3}$＜a＜3時，u（t）在t∈$[\frac{1}{3}，a）$上單調遞減，在t∈[a，3]上單調遞增，∴t=a時，u（t）取得最小值u（a）=3-a²．
綜上可得：最小值h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28-6a}{9}，a≤\frac{1}{3}}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{3}＜a＜3}\\{-6a+12，a≥3}\end{array}\right.$．
（3）存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）=-6x+12的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，
則$\left\{\begin{array}{l}{-6n+12={m}^{2}}\\{-6m+12={n}^{2}}\end{array}\right.$，可得：m²-6m+24=0，由于△=36-96＜0，因此上述方程無解．
于是假設不成立，
因此不存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）=-6x+12的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]．

點評 本題考查二次函數的單調性與值域、反函數的求法、一元二次不等式的解集與判別式的關系、換元法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．