【題目】如圖，在四面體
中，
,
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
與平面
所成的角為
，點
是
的中點，求二面角
的大小.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)
.
【解析】分析：（Ⅰ）由勾股定理可得
， 則
，
，進一步可得
， 則
.
（Ⅱ）結合（Ⅰ）的結論和幾何關系，以B為原點，建立空間直角坐標系
，則平面BDE的法向量為
，且
是平面CBD的一個法向量．結合空間向量計算可得二面角
的大小為．
詳解：（Ⅰ）由已知得
，
，
又
，
，
，
，
又
，
，
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB與平面BCD所成的角為
，即
，
設BD＝2，則BC＝2，在
中，AB＝4，
由（Ⅰ）中，得平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD內，過點B作
，則
平面ABC，以B為原點，建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，由
，
，
得
，
∴
，
，
設平面BDE的法向量為
，
則
，取
，解得
，
∴是平面BDE的一個法向量，
又是平面CBD的一個法向量．
設二面角
的大小為
，易知為銳角，
則
，
∴
，即二面角的大小為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知二次函數
（
、
、
均為實常數，
）的最小值是0，函數
的零點是
和
，函數
滿足
，其中
，為常數.
（1）已知實數
、
滿足、
，且
，試比較
與
的大小關系，并說明理由；
（2）求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題9分）
設函數
的定義域為
，值域為
，如果存在函數
，使得函數
的值域仍是，那么稱是函數
的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數是不是函數的一個等值域變換？說明你的理由；
，
；
，
．
（2）設函數的定義域為，值域為，函數
的定義域為
，值域為
，那么“
”是否為“是的一個等值域變換”的一個必要條件？請說明理由；
（3）設
的定義域為
，已知
是的一個等值域變換，且函數的定義域為
，求實數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面有五個命題：
①函數
的最小正周期是
；
②終邊在y軸上的角的集合是
；
③在同一坐標系中，函數
的圖象和函數
的圖象有一個公共點；
④把函數
；
⑤在
中，若
，則是等腰三角形
；
其中真命題的序號是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4）
C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線C的參數方程為
(t為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
．
(1)求C的普通方程和的直角坐標方程；
(2)求C上的點到距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（θ為參數），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為
．
（1）求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程；
（2）若直線l：y＝kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，點M的直角坐標為（1，0），求△PMQ的面積．
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