Question

（2011•深圳模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(

6

5

，0)），P（cosα，sinα），其中0＜α＜

π

2

．
（1）若 cosα=

5

6

，求證：

PA

⊥

PO

；
（2）若|

PA

|=|

PO

|，求sin(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）用坐標分別表示出

PA

=(

6

5

-cosa，-sina)，

PO

=（-cosa，-sina），求出它們的數量積，利用cosα=

5

6

可證．
（2）由|

PA

|=|

PO

|，可求解得cosa，進而可求 sin2a，從而問題可解．

解答：解：（1）由題設知

PA

=(

6

5

-cosa，-sina)，

PO

=（-cosa，-sina）．
所以

PA

•

PO

=(

6

5

-cosa)(-cosa)+(-sina)2=-

6

5

cosa+cos2a+sin2a=-

6

5

cosa+1．
因為cosa=

5

6

，所以

PA

•

PO

=0．故

PA

⊥

PO

．
（2）因為|

PA

|=|

PO

||，所以|

PA

|2=|

PO

|2，
即(cosa-

6

5

)2+sin2a=cos2a+sin2a．
解得cosa=

3

5

．
因為0＜a＜

π

2

，所以sina=

4

5

．
因此sin2a=2sinacosa=

24

25

，cos2a=2cos2a-1=-

7

25

．
從而sin(2a+

π

4

)=

2

2

sin2a+

2

2

cos2a=

2

2

×

24

25

+

2

2

×(-

7

25

)=

17 2

50

．

點評：本題以向量為載體，考查三角函數，考查數量積運算，考查和角的三角函數，有一定的綜合性．