Question

過橢圓的左焦點作直線交橢圓于A、B兩點，若存在直線使坐標原點O恰好在以AB為直徑的圓上，則橢圓的離心率取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：設l：x=-c+my代入橢圓方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂為整理后的方程的兩個根，利用韋達定理結合OA⊥OB，可得到a，b，c之間的關系式，從而可求得橢圓的離心率取值范圍．
解答：設l：x=-c+my代入橢圓方程得：+=1，
整理得：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂為上述方程的兩個根，
∴y₁+y₂=，y₁y₂=-，①
∵OA⊥OB，
∴（-c+my₁）（-c+my₂）+y₁y₂=0．
∴c²-mc（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂=0，將①代入，整理得：
a²c²-（c²b²+b⁴）m²-b⁴=0，
∴（c²b²+b⁴）m²=a²c²-b⁴≥0，
∴a²c²≥（a²-c²）²，又e=，
∴e⁴-3e²+1≤0，
∴≤e²≤，而0＜e＜1，
∴≤e²＜1，
∴≤e＜1．
故選D．
點評：本題考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，突出考查韋達定理的作用，考查垂直關系的應用，考查抽象思維與綜合運算能力，屬于難題．