Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范圍；
（3）若B點在于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

分析：（1）由題意知，

c

a

=

1

2

，利用點到直線的距離公式可求b，結合a²=b²+c²可求a，即可求解
（2）由題意設直線l的方程為y=k（x-4），聯立直線與橢圓方程，設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），根據方程的根與系數關系求出x₁+x₂，x₁x₂，由△＞0可求k的范圍，然后代入

.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2中即可得關于k的方程，結合k的范圍可求

OA

•

OB

的范圍
（3）由B，E關于x軸對稱可得E（x₂，-y₂），寫出AE的方程，令y=0，結合（2）可求

解答：（1）解：由題意知，

c

a

=

1

2

，

6

2

=b即b=

3

又a²=b²+c²
∴a=2，b=

3

故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（2分）
（2）解：由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-4）
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0（4分）
設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），則△=32²k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0
∴0≤k2＜

1

4

（6分）
∴x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

①
∴

.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)
=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)•

64k2-12

3+4k2

-4k2•

32k2

3+4k2

+16k2
=25-

87

4k2+3

∵0≤k2＜

1

4

∴-

87

3

≤-

87

4k2+3

＜-

87

4

∴-4≤25-

87

4k2+3

＜

13

4

∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

）
（3）證明：∵B，E關于x軸對稱
∴可設E（x₂，-y₂）
∴直線AE的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0可得x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

∵y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）
∴x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=

2× 64k2-12 3+4k2 -4× 32k2 3+4k2

32k2 3+4k2 -8

=1
∴直線AE與x軸交于定點（1，0）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程及直線與橢圓相交關系的應用，方程思想的應用及向量的數量積的坐標表示等知識的綜合應用．