Question

（2013•陜西）（不等式選做題） 
已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a+b=1，mn=2，則（am+bn）（bm+an）的最小值為

2

．

Answer 1

分析：利用二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d∈R 均為實(shí)數(shù)，則（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

a

c

=

b

d

時(shí)成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值．

解答：解：根據(jù)二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式：
（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
可得（am+bn）（bm+an）≥（

am

•

an

+

bn

•

bm

）²
=mn（a+b）²
=2×1=2，當(dāng)且僅當(dāng)

am

an

=

bn

bm

即m=n時(shí)，取得最小值2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二維形式的柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．