Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}（x+1）+x-1（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x+1}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）的兩個零點分別為x₁，x₂，則|x₁-x₂|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$+ln2

Answer 1

分析 由題意分別討論兩段函數的零點，轉化為兩個函數圖象交點的橫坐標，然后結合互為反函數圖象的對稱性及圖象平移求解．

解答 解：當x＞0時，f（x）=log₄（x+1）+x-1，
由f（x）=0，可得x-1=$-lo{g}_{4}（x+1）=lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$；
當x≤0時，f（x）=x-$（\frac{1}{4}）^{x+1}$+3，
由f（x）=0，可得$（\frac{1}{4}）^{x+1}=x+3$．
作出函數圖象如圖：
∵函數y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$與y=$（\frac{1}{4}）^{x}$互為反函數，則其圖象關于直線y=x對稱，
而$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$與$y=（\frac{1}{4}）^{x+1}$分別是把y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$與y=$（\frac{1}{4}）^{x}$向左平移1個單位得到的，
∴兩函數圖象關于直線y=x+1對稱，
又直線y=x-1與y=x+3也關于直線y=x+1對稱，
不妨設y=x+3（x≤0）與y=$（\frac{1}{4}）^{x+1}$的交點的橫坐標為x₁，y=x-1（x＞0）與y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$的交點的橫坐標為x₂，
則|x₁-x₂|=$\frac{|AB|}{2}=\frac{4}{2}=2$．
故選：C．

點評 本題考查分段函數的應用，考查根的存在性與根的個數判斷，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．