Question

已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（3，0）、C（cosα，sinα）且

AC

•

BC

=-

1

2

．求：
（Ⅰ）sinα+cosα的值；
（Ⅱ）

sin(π-4α)•cos2(π-α)

1+sin( π 2 +4α)

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AC

•

BC

=-

1

2

可得 （cosα-3）cosα+sinα （sinα-3）=-

1

2

，化簡可得sinα+cosα的值．
（Ⅱ）由于 sinα+cosα=

1

2

，平方可得 2sinαcosα=-

3

4

．化簡要求的式子為2sinαcosα，從而得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由

AC

•

BC

=-

1

2

可得 （cosα-3）cosα+sinα （sinα-3）=-

1

2

，即 1-3（sinα+cosα）=-

1

2

，∴sinα+cosα=

1

2

．
（Ⅱ）∵sinα+cosα=

1

2

，平方可得 2sinαcosα=-

3

4

．
∴

sin(π-4α)•cos2(π-α)

1+sin( π 2 +4α)

=

sin4α•cos2α

1+cos4α

=

2sin2α•cos2α•cos2α

1+2cos22α-1

=sin2α=2sinαcosα=-

3

4

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，同角三角函數(shù)的基本關系以及誘導公式的應用，屬于中檔題．