Question

已知A，B，C三點的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(

π

2

，

3π

2

)，若

AC

•

BC

=-1，則

1+tanα

2sin2α+sin2α

的值為（　　）

• A、-

  5

  9

• B、-

  9

  5

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：先由A、B、C三點的坐標，求出

AC

與

BC

的坐標，再根據(jù)

AC

•

BC

=-1，列出一個關于α的方程，可將問題轉化為簡單的三角函數(shù)化簡求值問題．

解答：解：由

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)，
得

AC

•

BC

=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

，
∴2sinαcosα=-

5

9

，

1+tanα

2sin2α+sin2α

=

1+ sinα cosα

2sin2α+2sinαcosα

=

1

2sinαcosα

=-

9

5

．
故選B

點評：解決此題的關鍵是：熟練掌握向量數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的變換方法．已知某三角函數(shù)值、求其它三角函數(shù)的值．一般先化簡，再求值．化簡三角函數(shù)的基本方法：統(tǒng)一角、統(tǒng)一名通過觀察“角”“名”“次冪”，找出突破口，利用切化弦、降冪、逆用公式等手段將其化簡．