Question

下列說法中：
①若函數f（x）=ax²+（2a+b）x+2（x∈[2a-1，a+4]）是偶函數，則實數b=2；
②f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，則函數f（x）的最大值為1；
③已知函數f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），則f（x）是奇函數；
④設lg2=a，lg3=b那么可以得到；
⑤函數的值域是（0，2），其中正確說法的序號是________（注：把你認為是正確的序號都填上）．

Answer 1

①③④
分析：利用二次函數的圖象與性質，可得①是真命題；利用分段函數的單調性與圖象，可得②是假命題；利用賦值法，進行驗證可得③是真命題；根據對數的運算法則與換底公式，可得④是真命題；利用二次函數和對數函數的單調性，結合復合函數的單調可得⑤是真命題．由此得到正確答案．
解答：對于①，∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2是二次函數，且圖象關于直線x=對稱，
∴2a-1+a+4=0且=0，解之得a=-1，b=2，故①正確；
對于②，f（x）=，
可得當x∈（∞，0）時，函數f（x）為增函數；當x∈（0，3）時，函數f（x）為減函數；
當x∈（3，+∞）時，函數f（x）為減函數
∴當x=0時，函數f（x）的最大值為f（0）=2，故②不正確；
對于③，對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0
再取x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，所以f（-1）=0，
最后取y=-1，得f（-x）=xf（-1）-f（x），所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數．故③正確；
對于④，lg2=a，lg3=b，則log₅6===，故④正確；
對于⑤，因為0＜3+2x-x²=-（x-1）²+4≤4，
所以≤log₂4=2，故函數函數的值域是（-∞，2），故⑤不正確．
故答案為：①③④
點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數的單調性與奇偶性、對數的運算法則、復合函數的值域和抽象函數等知識點，屬于基礎題．