Question

下列說法中：
①若α∈(0，

π

2

)，則sinα+cosα的值不可能是

2π

7

②若-

π

2

＜θ＜

π

2

，sinθ+cosθ=a，a∈（0，1），則tanθ的值不可能是-

π

3

；
③函數f（x）sinx（x∈R與函數f（x）=x（x∈R）的圖象只有一個交點；
④函數f（x）=

2tan x 2

1-tan2 x 2

的最小正周期是2π；
⑤不存在x∈(0，

π

2

)使得2x＞3sinx成立．
其中正確說法的序號是

①②③

（注：把你認為是正確的序號都填上）

Answer 1

分析：①利用三角函數的輔助角公式求出函數的值域．②利用三角函數的單調性判斷，然后利用同角三角形的關系確定．
③利用三角函數的圖象進行推導．④利用三角函數的倍角公式和的周期關系判斷．⑤利用賦值法判斷．

解答：解：①若α∈(0，

π

2

)，則sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)∈(1，

2

)，由于

2π

7

∉(1，

2

)，故①正確；
②若-

π

2

＜θ＜

π

2

，sinθ+cosθ=a=

2

sin(θ+

π

4

)∈（0，1），故θ∈(-

π

4

，0)，則tanθ∈（-∞，-1），故②正確；
③由于函數f（x）=sinx（x∈R與函數f（x）=x（x∈R）的圖象只有一個交點（0，0），故③正確；
④由于函數f（x）=

2tan x 2

1-tan2 x 2

=tanx，故④錯誤；
⑤當x→

π

2

時，得到2x→π，3sinx→3，故⑤不成立．
故答案為①②③

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質以及三角基本運算，要求熟練掌握相應的運算公式．