Question

下列說法中：
①函數f(x)=

x-1

x+1

與g（x）=x的圖象沒有公共點；
②若定義在R上的函數f（x）滿足f（x+3）=-f（x），則6為函數f（x）的周期；
③若對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，則a＞

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3

；
④定義：“若函數f（x）對于任意x∈R，都存在正常數M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，則稱函數f（x）為有界泛函．”由該定義可知，函數f（x）=x²+1為有界泛函．
則其中正確的是

①②③

．

Answer 1

分析：聯立兩個函數的解析式，構造方程組，方程組解的個數即為函數圖象交點個數，由此可判斷①的真假，根據周期函數的定義可判斷②的真假，根據二次函數的性質，我們可構造關于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍，進而判斷③的真假，根據二次函數的性質結合有界泛函的定義，可以判斷④的真假，進而得到答案．

解答：解：聯立兩個函數的解析式，

y= x-1 x+1 y=x

，易得該方程組無解，
則函數f（x）=

x-1

x+1

與g（x）=x的圖象沒有公共點，故①正確；
定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），
則f（x+3）=-f（x），f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
所以f（x）的周期為6，故②正確；
若對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，
令f（x）=x²-ax+2，則f（1）＜0且f（3）＜0，
解得a＞

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3

，故③正確；
當x＞0時，不存在正常數M使|x²+1|=x²+1≤M|x|=Mx恒成立，故④錯誤；
故答案為：①②③．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數的周期性，函數恒成立問題，熟練掌握函數的性質及不等式與對應函數之間的辯證關系是解答本題的關鍵．