Question

下列說法中：
①函數f(x)=

1

lgx

在(0，+∞)是減函數；
②在平面上，到定點（2，-1）的距離與到定直線3x-4y-10=0距離相等的點的軌跡是拋物線；
③設函數f(x)=cos(

3

x+

π

6

)，則f（x）+f'（x）是奇函數；
④雙曲線

x2

25

-

y2

16

=1的一個焦點到漸近線的距離是5；
其中正確命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：根據函數的單調性的定義以及函數奇偶性的定義和雙曲線的性質等對每一個選支進行逐一判定．

解答：解：①函數 f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上lgx有正有負，如-1＜2，而-1＜

1

2

，故不是單調函數，故不正確；
②在平面上，點（2，-1）在直線3x-4y-10=0上，距離相等的點的軌跡是過該點且與直線3x-4y-10=0垂直的直線；
③f（x）+f'（x）=cos（

3

x+

π

6

）-

3

sin（

3

x+

π

6

）=f（-x）+f'（-x），故③正確；
④雙曲線的一個焦點為（

41

，0），漸近線方程為y=±

4

5

x，焦點到漸近線的距離d=

|4 41 |

16+25

=4，故④不正確．
故答案為：③

點評：本題綜合考查了函數的單調性、周期性，以及函數的極值和拋物線的定義等有關知識，屬于中檔題．