Question

7．已知圓C：x²+y²=9，點A（-5，0），直線l：x-2y=0．
（1）求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；
（2）在x軸上是否存在定點B（不同于點A），使得對于圓C上任一點P，都有$\frac{|PB|}{|PA|}$為常數？若存在，試求所有滿足條件的點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求與直線l垂直的直線的斜率，可得其方程，利用相切求出結果．
（2）先設存在，利用都有$\frac{|PB|}{|PA|}$為一常數這一條件，以及P在圓上，列出關系，利用恒成立，可以求得結果．

解答 解：（1）設所求直線方程為y=-2x+b，即2x+y-b=0．
∵直線與圓相切，∴$\frac{{|{-b}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=3$，…（2分）
得$b=±3\sqrt{5}$，…（3分）
∴所求直線方程為$y=-2x±3\sqrt{5}$．   …（4分）
（2）方法1：假設存在這樣的點B（t，0）．
當P為圓C與x軸的左交點（-3，0）時，$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{{|{t+3}|}}{2}$；
當P為圓C與x軸的右交點（3，0）時，$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{{|{t-3}|}}{8}$．            …（6分）
依題意，$\frac{{|{t+3}|}}{2}=\frac{{|{t-3}|}}{8}$，解得，t=-5（舍去），或$t=-\frac{9}{5}$．      …（8分）[
下面證明當點B的坐標為$（-\frac{9}{5}，0）$時，對于圓C上任一點P，$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$恒為一常數：
設P（x，y），則y²=9-x²，
∴$\frac{{{{|{PB}|}^2}}}{{{{|{PA}|}^2}}}=\frac{{{{（x+\frac{9}{5}）}^2}+{y^2}}}{{{{（x+5）}^2}+{y^2}}}=\frac{{\frac{18}{25}（5x+17）}}{2（5x+17）}=\frac{9}{25}$，
從而$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{3}{5}$為常數．   …（12分）
方法2：假設存在這樣的點B（t，0），使得$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$為常數λ，則PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，
將y²=9-x²代入得x²-2tx+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），…（6分）
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0對x∈[-3，3]恒成立，…（8分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{5{λ^2}+t=0}\\{34{λ^2}-{t^2}-9=0}\end{array}}\right.$，…（10分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{λ=\frac{3}{5}}\\{t=-\frac{9}{5}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{λ=1}\\{t=-5}\end{array}}\right.（舍去）$，…（11分）
所以存在點$B（-\frac{9}{5}，0）$對于圓C上任一點P，都有$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$為常數$\frac{3}{5}$．    …（12分）

點評 本題考查直線和圓的方程的應用，圓的切線方程，又是存在性和探究性問題，恒成立問題，考查計算能力．是難題．