Question

若f（x）=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ是偶函數，θ為常數，且f（x）的最小值是0．
（1）求tanθ的值；   
（2）求f（x）的最大值及此時x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數的定義f（-x）=f（x）即可得出；
（2）利用同角三角函數基本關系式即可得出sinθ與cosθ，進而得到函數f（x）的解析式即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）是偶函數，
∴?x∈R，都有f（-x）=f（x），化為（tanθ-2）sinx=0，解得tanθ=2．
（2）由

sin2θ+cos2θ=1 sinθ cosθ =2

解得

sinθ= 2 5 5 cosθ= 5 5

或

sinθ=- 2 5 5 cosθ=- 5 5

此時，f（x）=sinθ（cosx-1）．
當sinθ=

2 5

5

時，f（x）=

2 5

5

(cosx-1)，最大值為0，不合題意，舍去；
當sinθ=-

2 5

5

時，f（x）=-

2 5

5

(cosx-1)最小值為0．
當cosx=-1時，f（x）有最大值為

4 5

5

，自變量x的集合為{x|x=2kπ+π，k∈Z}．

點評：熟練掌握偶函數的性質、三角函數基本關系式、三角函數的單調性等是解題的關鍵．