Question

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e＝，過點C(－1，0)的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足＝λ(λ≥2)．

(1)若λ為常數，試用直線l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積；

(2)若λ為常數，當△OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；

(3)若λ變化，且λ＝k²＋1，試問：實數λ和直線l的斜率k(k∈R)分別為何值時，橢圓E的短半軸取得最大值？并求此時的橢圓方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)， 　　由e＝＝及a2＝b2＋c2得a2＝3b2． 　　故橢圓方程為x2＋3y2＝3b2．　　① 　　(1)因為直線l：y＝k(x＋1)交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，并且＝λ(λ≥2)． 　　∴(x1＋1，y1)＝λ(－1－x2，－y2)． 　　即　　② 　　把y＝k(x＋1)代入橢圓得 　　(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0， 　　且Δ＝k2(3b2－1)＋b2＞0， 　　∴x1＋x2＝－，　　③ 　　x1x2＝． 　　因此S△OAB＝|y1－y2|＝|λ＋1|·|y2|＝|k|·|x2＋1|． 　　聯立②、③得x2＋1＝， 　　∴S△OAB＝·(k≠0)． 　　(2)S＝·≤·， 　　當且僅當3|k|＝，即k＝±時，S取得最大值，此時x1＋x2＝－1． 　　又x1＋1＝－λ(x2＋1)，∴x1＝，x2＝． 　　將x1，x2代入④得3b2＝． 　　故橢圓方程x2＋3y2＝(λ≥2)． 　　(3)由②、③聯立得x1＝－1，x2＝－1． 　　將x1，x2代入④得3b2＝＋1． 　　由k2＝λ－1得3b2＝＋1＝[＋]＋1． 　　易知，當λ≥2時，3b2是λ的減函數，故當λ＝2時，(3b2)max＝3． 　　所以，當λ＝2，k＝±1時，橢圓短半軸的長取得最大值，此時橢圓方程為x2＋3y2＝3． 　　分析：首先考查橢圓的性質．在(1)中既考查了直線方程、向量和二次方程等知識，又體現了轉化思想的應用；在(2)中，考查了利用不等式求最值；在(3)中，既要運用數形結合思想和轉化思想，巧妙地把與橢圓有關的最值問題轉化為函數的最值問題，又要利用函數的單調性求最值．

提示：

評注：本題以直線與橢圓為背景，向量為“紐帶”，把方程、不等式、函數聯系起來，體現了在方程，不等式、函數等知識網絡交匯處命題的思想．