Question

已知函數f(x)=

1

2

4-x2

．
（Ⅰ）寫出函數f（x）的定義域，并求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設過曲線y=f（x）上的點P的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S，求S的最小值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據負數沒有平方根即被開方數大于等于0，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為函數的定義域，然后求出f（x）的導函數，令導函數大于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為函數的增區間；令導函數小于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數的減區間；
（Ⅱ）設出切點P的坐標，把橫坐標代入到f（x）的導函數中求出對應的導函數值即為切線的斜率，根據設出的P的坐標和求出的斜率寫出切線l的方程，然后分別令x=0和y=0求出切線l與y軸和x軸的交點坐標，根據與坐標軸的截距表示出三角形AOB的面積，化簡后利用基本不等式即可求出面積的最小值和此時P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是[-2，2]．
函數f（x）的導函數是f′(x)=

-x

2 4-x2

．
令f'（x）＞0，即

-x

2 4-x2

＞0，解得-2＜x＜0，所以函數f（x）的遞增區間是（-2，0）；
令f'（x）＜0，即

-x

2 4-x2

＜0，解得0＜x＜2，所以函數f（x）的遞減區間是（0，2）．
（Ⅱ）設P(x0，  

1

2

4-x02

)，則切線的斜率k=f′(x0)=

-x0

2 4-x02

，
則切線l的方程是y-

1

2

4-x02

=

-x0

2 4-x02

(x-x0)，
設切線l與x軸、y軸的交點為A、B，
令y=0，由題意可知x₀≠0，解得x=

4

x0

，所以A(

4

x0

，0)；
令x=0，解得y=

2

4-x02

，所以B(0，

2

4- x 2 0

)，
所以S△ABO=

1

2

|x||y|=

1

2

|

4

x0

|

2

4-x02

=

4

x02(4-x02)

≥

4

x02+4-x02 2

=2，
當且僅當x₀²=4-x₀²，即x0=±

2

時，△ABO面積的最小值為2．
此時，點P的坐標是(±

2

，  

2

2

)．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負求出函數的單調區間，會利用基本不等式求函數的最值并掌握最值的幾何意義，會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道多知識的綜合題．