Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設S為△ABC的面積，滿足S＜

1

4

(b2+c2-a2)．
（1）求角A的范圍；
（2）求f（A）=1+sinAcosA-cos²A的范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件得到sinA＜cosA，根據A 的范圍可知 tanA＜1，0＜A＜

π

4

．
 （2）利用同角三角函數的基本關系、二倍角公式化簡f（A）=

1+ 2 sin(2A- π 4 )

2

，根據-

π

4

＜2A-

π

4

＜

π

4

，
求出

2

 sin（2A-

π

4

 ）的范圍，即得f（A）的范圍．

解答：解：（1）∵

1

2

bc•sinA＜S＜

1

4

(b2+c2-b2-c2=2bc•cosA)，∴sinA＜cosA，
 故A為銳角，∴tanA＜1，∴0＜A＜

π

4

．
（2）f（A）=1+sinAcosA-cos²A=sinAcosA+sin²A=

1

2

 sin2A+

1-cos2A

2

=

1+ 2 sin(2A- π 4 )

2

，
∵0＜A＜

π

4

，∴-

π

4

＜2A-

π

4

＜

π

4

，-1＜

2

 sin（2A-

π

4

 ）＜1，
∴0＜f（A）＜1．

點評：本題考查正弦函數的定義域和值域，同角三角函數的基本關系、二倍角公式以及余弦定理的應用．