Question

由函數確定數列，.若函數能確定數列，，則稱數列是數列的“反數列”.

（1）若函數確定數列的反數列為，求；

（2）對（1）中的，不等式對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設（為正整數），若數列的反數列為，與的公共項組成的數列為（公共項為正整數），求數列的前項和.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）　　　

【解析】

試題分析：（1）本題實質是求函數的反函數；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左邊的最小值，所以我們一般想辦法求左邊這個和，然而由（1）知，這個和求不出，那么我們只能從另一角度去思考，看的單調性，這里只要作差就可得出是遞增數列，所以的最小值是，問題解決；（3）看起來很復雜，實質上由于和取值只能是0和1，因此我們按的奇偶性分類討論，問題就簡化了，例如當為奇數時，，則，就可求出，從而求出的前項和了．

試題解析：（1），則；4分

（2）不等式化為：，5分

設，因為，

所以單調遞增，                                    7分

則.因此，即.因為，

所以，得.             10分

（3）當為奇數時，，.        11分

由，則，

即，因此，                       13分

所以                                          14分

當為偶數時，，.                    15分

由得，即，因此，   17分

所以                                    18分

考點：（1）反函數；（2）數列的單調性；（3）分類討論，等差數列與等比數列的前項和．