Question

已知A（1，0），曲線C：y=e^ax恒過點B，若P是曲線C上的動點，且

AB

•

AP

的最小值為2，則a=（　　）

• A、-2
• B、-1
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得B（0，1），

AB

•

AP

取得最小時，P，B重合，可得曲線C：y=e^ax在點B（0，1）處的切線與與

AB

垂直，即y′|_x=0=1，由此求得a的值

解答： 解：因為 e⁰=1所以B（0，1）．
考察

AB

•

AP

的幾何意義，因為|

AB

|=

2

，所以

AB

•

AP

取得最小時，
∴

AP

在

AB

上的投影長應(yīng)是

2

，所以P，B重合．
這說明曲線C：y=e^ax在點B（0，1）處的切線與

AB

垂直，
所以y′|_x=0=1，即 a•e⁰=1，∴a=1，
故選：D

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．