Question

熱心支持教育事業的李先生雖然并不富裕，但每年都要為山區小學捐款．今年打算用2000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的數量之和盡可能多，但椅子數不能少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌子、椅子各買多少張才合適？

Answer 1

設桌子、椅子各買x張和y張，則所買桌椅的總數為z=x+y．
依題意得不等式組

x≤y y≤1.5x 50x+20y≤2000

其中x，y∈N₊．…（4分）
由

y=x 50x+20y=2000

解得

x= 200 7 y= 200 7 .

由

y=1.5x 50x+20y=2000

解得

x=25 y= 75 2 .

…（6分）
設點A的坐標為（

200

7

，

200

7

），點B的坐標為（25，

75

2

），
則前面的不等式組所表示的平面區域是以A（

200

7

，

200

7

）、
B（25，

75

2

）、O（0，0）為頂點的△AOB的邊界及其內部（如圖中陰影所示）．…（9分）
令z=0，得x+y=0，即y=-x．作直線l₀：y=-x．由圖形可知，把直線l₀平移至過點B（25，

75

2

）時，亦即x=25，y=

75

2

時，z取最大值．
因為x，y∈N₊，所以x=25，y=37時，z取最大值．
故買桌子25張，椅子37張較為合適．…（12分）