Question

已知平面ADEF⊥平面ABCD，其中ADEF為矩形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=2CD=2DE=4，AD=2

2

，如圖所示．
（Ⅰ）求證：BE⊥AC；
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的余弦值；
（Ⅲ）在線段AF上是否存在點P，使得BP∥平面ACE，若存在，確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間坐標系，利用線面垂直的性質證明BE⊥AC；
（Ⅱ）利用向量法求二面角B-CE-D的余弦值；
（Ⅲ）根據線面平行的判定定理和性質定理確定P的位置．

解答：解：（Ⅰ）證明：平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，由已知可得AF⊥AD，且AF?面ADEF，
所以AF⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyx，則A（0，0，0），B（4，0，0），C（2，2

2

，0），
E（0，2

2

，2），所以

BE

=(-4，2

2

，2)，

AC

=(2，2

2

，0)，
所以

BE

•

AC

=0，所以BE⊥AC．
（Ⅱ）由已知可得AD⊥CD，AD⊥DE，設平面CED的一個法向量為

n1

=(0，1，0)，
平面BCE的法向量為

n2

=(x，y，z)，則有

n2 ? BE =0 n2 ? BC =0

，即

-4x+2 2 y+2z=0 -2x+2 2 y=0

，
令y=1，所以平面BCE的一個法向量為

n2

=(

2

，1，

2

)，
所以cos?＜

n1

，

n2

＞=

n1 ? n2

| n1 || n2 |

=

5

5

，所以二面角B-CE-D的余弦值為-

5

5

．
（Ⅲ）設P（0，0，z），0≤z≤2，

BP

=(-4，0，z)，設平面ACE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n ? AE =0 n ? AC =0

，即

2 2 y+2z=0 2x+2 2 y=0

，不妨設y=1，則平面ACE的法向量為

n

=(-

2

，1，-

2

)，
由

BP

•

n

=(-4，0，z)•(-

2

，1，-

2

)=0，解得z=4，不符合題意，
即線段AF上不存在點P，使BP∥平面ACE．

點評：本題主要考查空間直線和平面位置的關系判斷以及空間角的求法，要求熟練掌握相應的定理和性質定理．