Question

已知正向等比數列{a_n}的首項a₁=

3

2

，其前n項和為S_n，（n∈N^*）且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據已知條件建立等量關系式，求出公比q，進一步確定數列的通項公式．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的通項公式，求出新數列的通項公式，進一步利用分類法求數列的和．

解答： 解：（Ⅰ）正項等比數列{a_n}的首項a₁=

3

2

，設公比為q，其前n項和為S_n，（n∈N^*）且S₃+a₃，S₅+a₅，
S₄+a₄成等差數列，
所以：2S₅+2a₅=S₃+a₃+S₄+a₄，
整理得：4q⁴=q²，解得：q=±

1

2

，
數列為正項數列，
所以q=

1

2

，
所以數列{a_n}的通項公式為：an=3•(

1

2

)n=

3

2n

．
（Ⅱ）由于數列的通項公式為：an=3•(

1

2

)n=

3

2n

bn=an+(-1)nlnan=

3

2n

+(-1)nln

3

2n

=

3 2n -ln 3 2n (n為奇數) 3 2n +ln 3 2n (n為偶數)

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（b₁+b₃+…）+（b₂+b₄+…）
=(

3

21

+

3

23

+

3

25

+…)-（ln

3

21

+ln

3

23

+…）+（

3

22

+

3

24

+…）+（ln

3

22

+ln

3

24

+…）
=2(1-(

1

4

)

n

2

)-ln

3 n 2

2 n2 2

+（1-(

1

4

)

n

2

）+（ln

3 n 2

2 n2 4 + n 2

）
=3(1-(

1

4

)

n

2

)+(

n2

4

-

n

2

)ln2

點評：本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法，利用分類法求數列的和．屬于中等題型．