Question

10、關于x的方程x³-3x+m-3=0有三個不同的實數根，則m的取值范圍是（　　）

A、（-∞，-1]

B、（-1，5）

C、（1，5）

D、（-∞，1]∪[5，+∞）

Answer 1

分析：首先設f（x）=x³-3x．求出函數的導數，然后根據導數與單調區間的關系確定函數的單調區間，再分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數圖象的變化情況，可知方程有三個不同的實根，求得實數m的范圍．

解答：解：原方程化為：x³-3x=3-m，
設f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，1），f'（x）＜0；
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取極大值4，在x=1時取極小值-2．
根據f（x）的大致圖象的變化情況，有三個不同的實數解時，
-2＜3-m＜4
解得a的取值范圍是-1＜m＜5．
故選B．

點評：考查利用導數研究函數的單調性和圖象，體現了數形結合的思想方法．本題是一道含參數的函數、導數與方程的綜合題，需要對參數進行分類討論．屬中檔題．