Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=

an

2

+

1

an

-1且a_n＞0，n∈N⁺
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的通項公式；
（2）用數學歸納法證明你的猜想的正確性．

Answer 1

分析：（1）由a1=S1= 

a1

2

+

1

a1

-1，a₁＞0，知a1=

3

-1．同理，a2=

5

-

3

，a3=

7

-

5

，猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
（2）n=1時，a1=

3

-1，假設n=k時，猜想正確，即ak=

2k+1

-

2k-1

，由數學歸納法證明n=k+1時，也成立．故對n∈N⁺，都有an=

2n+1

-

2n-1

．

解答：解：（1）n=1時，a1=S1= 

a1

2

+

1

a1

-1，
∴a₁²+2a₁-2=0，
又a₁＞0，∴a1=

3

-1．
同理，得a2=

5

-

3

，a3=

7

-

5

，猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
（2）證明：n=1時，a1=

3

-1，
假設n=k時，猜想正確，即ak=

2k+1

-

2k-1

，
又a_k+1=S_k+1-S_k=

ak+1

2

+

1

ak+1

-

ak

2

-

1

ak

，
∴ak+1=

2k+3

-

2k+1

=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

，
即n=k+1時，也成立．
∴對n∈N⁺，都有an=

2n+1

-

2n-1

．

點評：本題考查利用職權數列的遞推公式導出一個數列的前三項，然后總結規律，猜該數列的通項公式，并利用職權數學歸納法對猜想進行證明，解題時要注意方程思想的靈活運用．