Question

19．已知不等式$\frac{|x+3|-1}{2}$＞x的解集為（-∞，m）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程|x-n|+|x+$\frac{1}{n}$|=m（n＞0）有解，求實(shí)數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)x的范圍得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到關(guān)于n的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\frac{|x+3|-1}{2}$＞x，
故|x+3|-2x-1＞0，
故$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）-2x-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3-2x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：x＜2，故m=2；
（Ⅱ）由題意得|x-n|+|x+$\frac{1}{n}$|=2有解，
∵|x-n|+|x+$\frac{1}{n}$|≥|（x-n）-（x+$\frac{1}{n}$）|=|n+$\frac{1}{n}$|=n+$\frac{1}{n}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)”=“成立，
故n=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，不等式的性質(zhì)，著重考查運(yùn)算求解能力以及推理論證能力．