Question

國慶期間，某旅行社組團去風景區旅游，若旅行團人數在30人或30人以下，每人需交費用為900元；若旅行團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，人均費用減少10元，直到達到規定人數75人為止．旅行社需支付各種費用共計15000元．
（1）寫出每人需交費用y關于人數x的函數；
（2）旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據自變量x的取值范圍，分0＜x≤30或30＜x≤75列出函數解析式即可；
（2）利用（1）中的函數解析式，結合自變量的取值范圍和配方法，分段求最值，即可得到結論．

解答： 解：（1）當0＜x≤30時，y=900；
當30＜x≤75，y=900-10（x-30）=1200-10x；
即y=

900，0＜x≤30 1200-10x，30＜x≤75

（2）設旅行社所獲利潤為S元，則
當0＜x≤30時，S=900x-15000；
當30＜x≤75，S=x（1200-10x）-15000=-10x²+1200x-15000；
即S=

900x-15000，0＜x≤30 -10x2+1200x-15000，30＜x≤75

因為當0＜x≤30時，S=900x-15000為增函數，
所以x=30時，S_max=12000；
當30＜x≤75時，S=-10x²+1200x-15000=-10（x-60）²+21000，
即x=60時，S_max=21000＞12000．
所以當旅行社人數為60時，旅行社可獲得最大利潤．

點評：本題考查函數的應用問題，以及函數解析式的確定，考查運用配方法求二次函數的最值，以及考查學生對實際問題分析解答能力，屬于中檔題．