Question

求曲線y=x²，直線y=x，y=3x圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：先聯(lián)立兩個曲線的方程，求出交點，以確定積分公式中x的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式解之即可．

解答：解：在同一直角坐標系下作出曲線y=x²，直線y=x，y=3x的圖象，所求面積為圖中陰影部分的面積．

解方程組

y=x2 y=x

得交點（1，1），解方程組

y=x2 y=3x

得交點（3，9），
因此所圍圖形的面積為：S=

∫

1 0

（3x-x）dx+

∫

3 1

（3x-x²）dx=

∫

1 0

2xdx+

∫

3 1

（3x-x²）dx
=x²|

1 0

+（

2

3

x²-

1

3

x³）|

3 1

=1+（

3

2

×3²-

1

3

×3³）-（

3

2

×1²-

1

3

×1³）=

13

3

．

點評：本題主要考查了定積分在求面積中的應用，以及定積分的計算，屬于基礎題．