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設雙曲線 $數學公式$ -y²=1的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP （O為坐標原點）分別交于Q和R兩點．
（1）證明：無論P點在什么位置，總有| $數學公式$ |²=| $數學公式$ • $數學公式$ |；
（2）設動點C滿足條件： $數學公式$ = $數學公式$ （ $數學公式$ + $數學公式$ ），求點C的軌跡方程．

解：（1）設OP：y=kx與AR：y= $\text{[math]}$ 聯立，解得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理可得 $\text{[math]}$ ，所以| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，
設 $\text{[math]}$ =（m，n），則由雙曲線方程與OP方程聯立解得 $\text{[math]}$ ，
所以| $\text{[math]}$ |²= $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ |（點在雙曲線上，1-4k²＞0）；
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴點C為QR的中點，設C（x，y），
則有 $\text{[math]}$ ，消去k，可得所求軌跡方程為x²-2x-4y²=0（x≠0）．
分析：（1）設OP：y=kx與AR：y= $\text{[math]}$ 聯立，解得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$ ，所以| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，由此知| $\text{[math]}$ |²= $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ |．
（2）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），知點C為QR的中點，設C（x，y），有 $\text{[math]}$ ，消去k，可得所求軌跡方程．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．

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