Question

設雙曲線-y²=1的右焦點為F，點P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的點，線段|P_kF|的長度為a_k，（k=1，2，3，…，n）．若數列{a_n}成等差數列且公差d∈（，），則n最大取值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據雙曲線的第二定義，可得|P_kF|的長度a_k=x_k-2，結合題意2≤x_k≤2得n取最大值時d=，再解不等式＜＜，找出它的最大整數解，即得n的最大值．
解答：解：由題意，得a²=4，b²=1，c==，可得 雙曲線 的右準線為：x=，即x=
設P_k坐標為（x_k，y_k），P_k到右準線的距離為d_k（k=1，2，3，…，n），
根據雙曲線的第二定義，得=e=，
∴|P_kF|=d_k=（x_k-）=x_k-2
∵|P_kF|的長度為a_k，∴a_k=x_k-2
∵數列{a_n}成等差數列，且公差d∈（，），
∴=∈（，），
∵2≤x_k≤2，（k=1，2，3，…，n），公差d是正數
∴0＜x_n-x₁≤2-2，得n取最大值時d==
∴＜＜，解之得5-4＜n＜26-5
因為26-5≈14.82，所以滿足條件的最大整數n=14
故答案為：14
點評：本題以雙曲線為載體，在它的n條焦半徑成等差數列并知道公差范圍的情況下，求項數n的最大值，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質和等差數列的通項公式等知識，屬于中檔題．