Question

9．a，b，c分別是△ABC內角A，B，C的對邊，a+c=4，sinA（1+cosB）=（2-cosA）sinB，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，余弦定理化簡已知整理可得：2b=a+c，利用基本不等式可求ac的最大值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵sinA（1+cosB）=（2-cosA）sinB，
∴由正弦定理可得：a（1+cosB）=b（2-cosA），
由余弦定理可得：a（1+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$）=b（2-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$），整理可得：2b=a+c，
∵a+c=4，可得：b=2，
∴16=（a+c）²≥4ac，解得：ac≤4，（當且僅當a=c=b=2等號成立，此時B=$\frac{π}{3}$），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．