Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．

（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，

∴AB⊥平面ACC1A1，

∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，

∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）解：以A為原點，以AC、AB、AA1所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系
∵ ， ，

設 平面A1BC1，

則 ，取y=4，得 ；

由（Ⅰ）知， 為平面ABC1的法向量，

設二面角A﹣BC1﹣A1的大小為θ，由題意可知θ為銳角，

∴ ．

即二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由線面垂直的判定定理可得出AB⊥平面ACC1A1即得A1C⊥AB，再利用線面垂直的判定定理可得證。（Ⅱ）根據題意建立空間直角坐標系，分別求出各個點的坐標進而可求出各個向量的坐標，根據向量的垂直關系求出平面ABC1的法向量又已知平面ABC1的法向量，利用兩個法向量所成的角即為二面角的平面角，再根據向量的數量積運算公式求該角的余弦值即可。
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．