Question

如圖所示，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

(1)求證：CC₁⊥BD;

(2)當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？并加以證明.

Answer 1

思路解析：在平行六面體中，通常以同一頂點上三條棱所在的直線的方向向量為基向量，建立空間向量基底.

(1)證明：取=a,=b,=c為空間的一個基底，設菱形的邊長為a.

∵=a-b，∴·=c·a-c·b＝|c||a|cos〈c,a〉-|c||b|cos〈c,b〉=|c|acos60°-|c|acos60°=0.

∴⊥.∴⊥.

(2)設=λ(λ＞0)，即||=λ||時，能使A₁C⊥平面C₁BD.

∵C₁D平面BC₁D,BD平面BC₁D,∴A₁C⊥C₁D且A₁C⊥BD.

∴·=0且·=0.

∵=-(a+b+c), =a-c，〈a,b〉=〈b,c〉=60°,|a|=|b|=a，

∴·=-(a+b+c)·(a-c)=-a²-aacos60°+a·cos60°+

∴3λ²-λ-2=0.∵λ＞0,∴λ=1.

當λ=1時，

·＝-(a+b+c)·(a-b)=-a²+a²-aacos60°+aacos60°=0，

∴⊥.∴A₁C⊥BD.

同理，當λ=1時，⊥,即A₁C⊥BC₁.

由上述證明過程知當時，能使A₁C⊥平面C₁BD.

方法歸納  向量法解決線面垂直問題時，通常轉化為此直線的方向向量垂直于平面內兩不共線的向量問題.