Question

如圖所示，已知直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長均為2a，側棱長為a，∠ABC=60°，E、F分別是A₁B、A₁C的中點．
（1）求證：EF∥平面BB₁CC₁；
（2）求二面角A₁-BC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面BB₁C₁C；關鍵在平面BB₁C₁C內尋找一直線與EF平行，由中位線易知EF∥BC，根據線面平行的判定定理可證得線面平行；
（2）做AM⊥BC與M，連接A₁M，根據條件可以證得∠A₁MA即為二面角A₁-BC-A的平面角；然后通過求三角形的邊長即可得到結論．

解答：解：（1）因為E、F分別是A₁B、A₁C的中點；
所以，在△A₁BC中，EF∥BC，
而EF不在平面BB₁C₁C內；
BC在平面BB₁C₁C內；
∴EF∥平面BB₁C₁C；
（2）做AM⊥BC與M，連接A₁M，
∵是直平行六面體；
∴A₁A⊥平面ABCD，；
∴AA_1⊥BC，
故BC⊥平面A₁AM
所以CB⊥A₁M；
即∠A₁MA即為二面角A₁-BC-A的平面角；
在直角三角形A₁MA中，AM=ABsin∠ABM=2asin60°=

3

a；
∴tan∠A₁MA=

AA 1

AM

=

a

3 a

=

3

3

．
∴∠A₁MA=30°．
即二面角A₁-BC-A為30°．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力