Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且==.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；

(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點

 

Answer 1

【答案】

(1)要證明直線的交點是否在橢圓上，首先是求解直線的方程，然后聯立方程組得到交點坐標，加以說明。

(2)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又  則直線的方程為      ①          2分

又 則直線的方程為         ②          3分             

由①②得                                       4分                     

    5分

∴直線與的交點在橢圓上  6分

（Ⅱ）① 當直線的斜率不存在時，設

則 ∴ ,不合題意      8分

② 當直線的斜率存在時，設 

聯立方程 得

則 ，

   10分

又

即

將代入上式得      13分

∴直線過定點                                        14分

考點：直線于橢圓的位置關系

點評：解決的關鍵是根據直線與橢圓的方程，聯立方程組，以及韋達定理來得求解，屬于基礎題。