Question

【題目】宜昌一中江南新校區擬建一個扇環形狀的花壇（如圖所示），按設計要求扇環的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米，設小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角（弧度）.

（1）求關于的函數關系式；

（2）已知對花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米，設花壇的面積與裝飾總費用之比為，求關于的函數關系式，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；

（2），的最大值為.

【解析】試題分析：（1）根據扇環的周長等于兩段弧長加兩段線段，可得，解得，根據題意求自變量取值范圍；（2）分別求出花壇的面積與裝飾總費用，從而可得關于的函數關系式為，再變量分離，，最后利用基本不等式求最值，注意等于號是否在定義區間.

試題解析：（1）由題可知，所以，.

（2）花壇的面積為（），

裝飾總費用為，

所以花壇的面積與裝飾總費用之比為.

令，，則，

當且僅當時取等號，此時，.

故花壇的面積與裝飾總費用之比為，且的最大值為.