Question

6．四面體的頂點和各棱中點共10個點，則由這10點構成的直線中，有423對異面直線．

Answer 1

分析 首先我們確定四面體的頂點和各棱的中點共10個點．可以構成的三棱錐個數(shù)（在這10點中取4個不共面的點的情況），每個三棱錐中有3對異面直線，則可得這10點構成的直線中，異面直線的對數(shù)．

解答 解：首先我們確定四面體的頂點和各棱的中點共10個點．
可以構成的三棱錐個數(shù)（在這10點中取4個不共面的點的情況）
取出的4點不共面比取出的4點共面的情形要復雜，故采用間接法：
從10個點中任取4個點有C₁₀⁴種取法，
其中4點共面的情況有三類．
第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有4C₆⁴種；
第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；
第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），
它的4頂點共面，有3種．
以上三類情況不合要求應減掉，∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種．
即這10個點可以構成141個三棱錐，每個三棱錐中有3對異面直線，
所以則由這10點構成的直線中，共有141×3=423對異面直線．
故答案為：423

點評 本題考查排列組合的解決簡單實際問題，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理，屬于難題．